Zusammenfassung

Bei der Konfiguration von Lagersystemen sind Entscheidungen zur Lagerplatzvergabestrategie, zur Dimensionierung und Allokation der Lagerkapazitäten, zum Layout des Lagers, zur Ein- und Auslagerstrategie und zur Auslegung der Fördertechnik zu treffen, die die Lagerleistung und die Durchsatzleistung des Lagers wesentlich beeinflussen. Lagerplatzvergabestrategien wie Festplatzlagerung, Zonung oder chaotische Lagerhaltung bestimmen dabei das Prinzip der Allokation von Lagerplätzen zu Artikeln. Für gegebene Lagerplatzvergabestrategie legt die Dimensionierung und Allokation der Lagerkapazitäten die Gesamtkapazität des Lagers fest und weist jedem Artikel eine Menge möglicher Lagerplätze zu. Im Rahmen der Layoutplanung wird jedem Lagerplatz eine physische Lagerposition zugeordnet, und es werden die Positionen der Ein- und Auslagerpunkte gewählt. Die Ein- und Auslagerstrategie legt fest, in welcher Weise beim Betrieb des Lagers die vorhandenen Ein- und Auslageraufträge ausgeführt werden. Hierzu gehört neben der Bildung von Arbeitsspielen der Fördermittel insbesondere die Lagerplatzwahl, die den Aufträgen zugehörige Lagerplätze zuweist. Die Lagerleistung kann durch Kenngrößen wie erforderliche Lagerkapazitäten oder erreichte Einlager-Servicegrade, die Durchsatzleistung auf der Grundlage der erwarteten Spielzeiten der im Lager eingesetzten Unstetigförderer quantifiziert werden. Die Lagerleistung hängt von der Lagerplatzvergabestrategie sowie der Dimensionierung und Allokation der Lagerkapazitäten ab, während die Durchsatzleistung für gegebene Lagerplatzvergabestrategie und gegebenes Lagerlayout wesentlich von der Ein- und Auslagerstrategie und der Auslegung der Fördertechnik beeinflusst wird.

Gegenstand des Promotionsvorhabens sind stochastische Modelle zur Konfigurationsplanung von Lagersystemen. Insbesondere entwickeln wir

• mathematische Chance-Constrained-Programme und Lösungsmethoden für verschiedene Varianten des Kapazitätsdimensionierungs- und -allokationsproblems und
• Markov-Modelle zur Schätzung der Grenzdurchsatzleistung des Systems unter verschiedenen Ein- und Auslagerstrategien.

Modelle zur Kapazitätsdimensionierung und -allokation

Bei der Kapazitätsdimensionierung und -allokation wird durch geeignete Verteilung der Lagerkapazitäten auf die Artikel oder Artikelgruppen die Wechselbeziehung zwischen dem Einlager-Servicegrad und der benötigten Gesamtkapazität optimiert. Die totalen, partiellen bzw. artikelbezogenen Einlager-Servicegrade bezeichnen hierbei die Wahrscheinlichkeiten, dass im stationären Zustand ausreichend freie Kapazitäten im Lager zur Verfügung stehen, um einen beliebigen, den nächsten bzw. einen artikelspezifischen Einlagerauftrag ausführen zu können. Da die Minimierung der benötigten Gesamtkapazität und die Maximierung des Einlager-Servicegrads konkurrierende Ziele darstellen, liegt ein bikriterielles Optimierungsproblem vor, für das nach dem Prinzip der Zieldominanz zwei einkriterielle Probleme betrachtet werden können:

• Unter Gewährleistung eines vorgegebenen Einlager-Servicegrads wird die bereitzustellende Gesamtkapazität des Lagers minimiert (primales Problem).

• Der Einlager-Servicegrad des Lagers wird bei gegebener Gesamtkapazität maximiert (duales Problem).

Effiziente Lösungsverfahren für das primale oder das duale Problem können als Startlösung für Algorithmen zur Approximation der Pareto-Front des bikriteriellen Problems dienen.

Unter der Annahme, dass die Lagerplatzbedarfe der verschiedenen Artikel als unabhängige Zufallsvariablen mit bekannten stetigen Verteilungen repräsentiert werden können, lassen sich die einkriteriellen Optimierungsprobleme als einfache nichtlineare Programme modellieren. Für den Fall der Festplatzlagerung und strikt log-konkav-verteilter Lagerplatzbedarfe können die hinreichenden und notwendigen Optimalitätsbedingungen mit Hilfe der KKT-Methode auf eine nichtlineare Gleichung reduziert werden, deren eindeutige Lösung mit numerischen Standard-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen effizient ermittelt werden kann.

Modelle zur Analyse der Durchsatzleistung

Die geeignete Auslegung der Fördertechnik eines Lagersystems setzt eine realitätsgetreue Analyse der Durchsatzleistung im stationären Zustand voraus. Der erwartete Grenzdurchsatz ergibt sich dabei als Kehrwert der erwarteten Spielzeit der im Lager eingesetzten Unstetigförderer und wird bei gegebener Lagerplatzvergabestrategie und gegebenem Lagerlayout wesentlich von der Ein- und Auslagerstrategie beeinflusst. Eine Vernachlässigung der durch fahrzeitoptimierende Lagerplatzwahl erzielbaren Zeitersparnisse kann die Durchsatzanalyse stark beeinflussen. Einfache Ansätze für die Durchsatzanalyse gehen dennoch von einer nicht optimierten, zufälligen Lagerplatzwahl aus.

Eine Modellierung als zeitstetige Markovkette liefert analytische Ergebnisse für die erwarteten Spielzeiten bei fahrzeitoptimierender Lagerplatzwahl. In einem ersten Grundmodell betrachten wir ein Regallager mit chaotischer Lagerhaltung und homogenen Lagergütern, das von einem Regalbediengerät in Einzelspielen bedient wird. Wir nehmen dabei an, dass die Zwischenankunftszeiten der Ein- und Auslageraufträge exponentialverteilt sind. Ein Zustand wird durch die Belegung der Lagerplätze mit Lagergütern dargestellt. Die fahrzeitoptimale Lagerplatzwahl für Ein- und Auslageraufträge wird so modelliert, dass alle Lagerplätze in Hinblick auf die resultierenden Spielzeiten sortiert werden und für die Zustandsübergänge immer der bestmögliche Lagerplatz aus dieser Sequenz gewählt wird. Für kleine Instanzen können die Gleichgewichtsgleichungen für die stationären Zustandswahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Standard-Algorithmen für lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Eine analytische Formel für die erwartete Spielzeit ergibt sich aus der Konstruktion aggregierter Geburts-Todes-Prozesse mit fixiertem Parameter n, in denen ein Zustand die Anzahl der unter den ersten n Lagerplätzen belegten Lagerplätze repräsentiert. Ein Vergleich der resultierenden Spielzeiten mit den Ergebnissen von Schätzformeln aus einschlägigen Richtlinien zeigt, dass letztere von einer erheblich zu gering veranschlagten Grenzdurchsatzleistung ausgehen. Im weiteren Verlauf des Forschungsvorhabens soll das Grundmodell noch auf heterogene Lagergüter, Doppelspiele und Batch-Ankünfte erweitert werden.